Question

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an． (1) a1，a2，a3，a4 (2) an与an+1(n≥2)的关系式 (3) 数列{an}的通项公式an，并证明an≥2n(n∈N+)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：当n＝1时，不同的染色方法种数a1＝3， 当n＝2时，不同的染色方法种数a2＝6， 当n＝3时，不同的染色方法种数a3＝6， 当n＝4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形 ∴不同的染色方法种数a4＝3×1×2×2＋3×2×1×1＝18
(2)	解：依次对扇形区域1，2，3，…，n，n＋1染色，不同的染色方法种数为3×2n，其中扇形区域1与n＋1不同色的有an+1种，扇形区域1与n＋1同色的有an种 ∴an＋an+1＝3×2n(n≥2)
(3)	∵an＋an+1＝3×2n(n≥2) ∴a2＋a3＝3×22 a3＋a3＝3×23 ……………… an－1＋an＝3×2n－1 将上述个等式两边分别乘以(－1)k(k＝2，3，…，n－1)，再相加，得 ， ∴an＝2n＋2·(－1)n， 从而． 证明：当n＝1时，a1＝3＞2×1 当n＝2时，a2＝6＞2×2， 当n≥3时， ， 故an≥2n(n∈N+)