Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且对任意正整数n,总有S_n=p(a_n-1)(p为常数且p≠0,p≠1).

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n;

(2)数列{b_n},b_n=2n+q(q为常数),且a₁=b₁,a₂＜b₂,求p的取值范围.

Answer 1

解析:(1)a₁=S₁=p(a₁-1),a₁=.?

n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=p(a_n-a_n-1),?

即(p-1)a_n=pa_n-1.?

所以{a_n}成等差数列,且公比为.?

故a_n=·()_n-1=()ⁿ.?

(2)因为a₁=b₁,所以=2+q.①?

又a₂＜b₂,所以()²＜4+q.②?

由①②消去q得()²--2＜0,?

解得-1＜＜2.所以p＜或p＞2.