Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为e=$\frac{1}{2}$，过点（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（I）求椭圆C的方程；
（II）过A（-a，0）且互相垂直的两条直线l₁、l₂与椭圆C的另一个交点分别为P、Q．问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的离心率公式求得a与c的关系，则b²=a²-c²=3c²，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）由A点坐标，当直线PQ斜率不存在时，代入椭圆方程，求得交点坐标，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得定点．

解答 解：（I）椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
由b²=a²-c²=3c²，
将（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，解得：c=1，
则a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）由（I）知A（-2，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
①当Q⊥x轴时，不妨设l₁、l₂的斜率分别为1，-1，则l₁：y=x+2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：x₁=-$\frac{2}{7}$，同理x₂=-$\frac{2}{7}$，
此时直线PQ与x轴交于点M（-$\frac{2}{7}$，0）…（6分）
②当直线PQ与x轴不垂直时，设线PQ方程为y=k（x-m），（k≠0），
代入$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-8k²mx+（4k²m²-12）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，…（8分）
∵AP⊥AQ，$\overrightarrow{AP}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{AQ}$=（x₂+2，y₂），∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即（x₁+2）（x₂+2）+k²（x₁-m）（x₂-m）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（2-k²m）（x₁+x₂）+k²m²=0…（9分）
∴（k²+1）×$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$+（2-k²m）×$\frac{8{k}^{2}m}{4{k}^{2}+3}$+k²m²=0．
化简得7m²+16m+4=0，解得m=-$\frac{2}{7}$或m=-2，…（10分）
当m=-2时，直线PQ与x轴交点与A重合，不合题意．
∴直线PQ与x轴交于点M（-$\frac{2}{7}$，0），…（11分）
综上所述，直线PQ经过定点M（-$\frac{2}{7}$，0）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．