Question

（2013•杨浦区一模）已知 f（x）=

3

sin2x-2sin²x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）-1，由此求得函数的周期，令2kπ+

3π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．
（2）根据-

π

6

≤x≤

π

3

，求得2x+

π

6

的范围，可得sin（2x+

π

6

）-1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．

解答：解：（1）因为 f（x）=

3

sin2x-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1，…（4分）
所以，函数的周期为T=

2π

2

=π，即函数f（x）的最小正周期为 π．    …（5分）
令 2kπ+

3π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]．  …（7分）
（2）因为-

π

6

≤x≤

π

3

，得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．   …（8分）
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）-1≤1，…（10分）
所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）
此时，2x+

π

6

=

π

2

，即 x=

π

6

．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性、周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．