Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-

2

3

处都取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可求出a，b的值；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，分析函数的单调性，求出极值点，代入可得函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，则函数f（x）在[-1，2]上的最大值＜c²，构造关于c的不等式，解不等式可得实数c的取值范围．

解答：（1）解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，
f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-

1

2

，b=-2                    
（2）由（1）知f′（x）=3x²-x-2，

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）
f′（x）	+	极大值	-	极小值	+
f（x）	↑	c+ 22 27	↓	c- 3 2	↑

∴函数f（x）的极大值为c+

22

27

，极小值为c-

3

2

（3）∵f（2）=2+c
∴x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c
∵对于任意的x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴只需2+c＜c²
解得c＜-1或c＞2．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数的最大值、最小值问题中的应用，是导数的综合应用问题，难度中档．