Question

    如图，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2， ，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C.

（I）求侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小；

（II）求侧面AA₁B₁B与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求点C到侧面AA₁B₁B的距离.

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：（I）取AC的中点D，连结A1D. ∵AA1=A1C，∴A1D⊥AC.  又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC， ∴A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为侧棱AA1与底面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AD=45°，即AA1与底面ABC所成的角等于45°.…4分 （II）作DE⊥AB于E，连结A1E. ∵A1D⊥面ABC，DE⊥AB，∴AB⊥A1E，∴∠A1ED为侧面AA1B1B与底面ABC所成二面角的平面角.∵BC⊥AB，DE⊥AB，∴DE//BC. ∵AD=DC，∴.在等腰直角三角形AA1C中， ， ， ∴∠A1ED=60°.（III）解法一：设点C到侧面AA1B1B的距离为d，连结A1B. 解法二：作DH⊥A1E于H， ∵DE⊥AB，AB⊥A1E，∴AB⊥平面A1DE， ∴AB⊥DH，又A1E⊥DH，∴DH⊥平面A1AB， ∵D为AC的中点，∴点C到侧面AA1B1B的距离2DH， 又，∴点C到侧面AA1B1B的距离等于.