Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明f（0）=1，且x＜0时，f（x）＞1；
（2）证明f（x）在R上单调递减．

Answer 1

证明：（1）令m=1，n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）中得：
f（1+0）=f（1）•f（0），即f（1）=f（1）•f（0），
∵1＞0，
∴0＜f（1）＜1，
∴f（0）=1…2分
当x＜0时，-x＞0，故得0＜f（-x）＜1，令m=x，n=-x，则m+n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）中得：
f（x）•f（-x）=f（0）=1，
∴f（x）=＞1…6分
（2）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0且0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）
=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂-x₁）-1＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上单调递减．
分析：（1）令m=1，n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）即可；
（2）利用单调函数的定义，设x₁＜x₂，判断f（x₂）-f（x₁）＜0即可．
点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的判断与证明，着重考查单调函数的定义的应用，属于难题．