Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE=2AB，F为CD的中点，
(Ⅰ)求证：AF∥平面BCE；
(Ⅱ)求证：平面BCE⊥平面CDE。

Answer 1

证明：(Ⅰ)因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE，
取CE的中点G，连接BG，GF，
因为F为CD的中点，
所以GF∥ED∥BA，GF=ED=BA，
从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG，
因为AF平面BCE，BG平面BCE，
所以AF∥平面BCE。
(Ⅱ)因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，
所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF，
又AC=AD，所以AF⊥CD，
而CD∩GF=F，
所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE，
因为AF∥BG，
所以BG⊥平面CDE，
因为BG平面BCE，
所以平面BCE⊥平面CDE。