Question

（2012•上饶一模）已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，且bn=a2n-2，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．

Answer 1

分析：（1）直接把n=1，2，3代入已知递推公式中即可求解a₂，a₃，a₄；
（2）由等比数列的定义，只要证明

bn

bn-1

为常数即可，然后结合等比数列的通项公式可求
（3）由a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n，可利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解

解答：（1）解：∵a1=1，an+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，
∴a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

…（2分）
（2）证明：由题意可得，当n≥2时，bn=a2n-2=a(2n-1)+1-2=

1

2

a2n-1+(2n-1)-2=

1

2

[a2n-2-2(2n-2)]+(2n-1)-2=

1

2

[a2(n-1)-2]=

1

2

bn-1
∴又b1=a2-2=-

1

2

，
∴数列{b_n}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列
∴bn=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n…（6分）
（3）解：∵a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n+2n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）+2n]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）+4n
=1-2×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-4×

n(n+1)

2

+4n=(

1

2

)n-1-2n2+2n-1．…（12分）

点评：本题 主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，等比数列的定义在等比数列的证明中的应用，分组求和方法及等比数列、等差数列的求和公式等 知识的综合应用