Question

设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…，如果对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范围．
解答：解：f'（x）=（x-a）（2ln x+1-）．
①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，解得
由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+=（x-a）（2lnx+1-），
令h（x）=2lnx+1-，则h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-≥2ln3e+1-=2（ln3e-）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x
则1＜x＜3e，1＜x＜a，从而，当x∈（0，x）时，f′（x）＞0，当x∈（x，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x）内是增函数，在（x，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有
有h（x）=2lnx+1-=0得a=2xlnx+x，将它代入得4x²ln²x≤4e²
又x＞1，注意到函数4x²ln²x在（1，+∞）上是增函数故1＜x≤e
再由a=2xlnx+x，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得，
所以得
综上，a的取值范围为．
点评：本题考查函数的极值的概念，导数运算法则，导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力，解题的关键是准确求出导数，利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号，得到原函数的单调性，本题属于难题．