Question

在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥AB；
（3）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

（1）证明：∵E、F分别为AB₁、BC₁的中点，
∴EF∥A₁C₁．
∵A₁C₁∥AC，
∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）证明：∵AB=CC₁，
∴AB=BB₁
又三棱柱为直三棱柱，
∴四边形ABB₁A₁为正方形．
连接A₁B，则A₁B⊥AB1．
又∵AB₁⊥BC₁，
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥AA₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（3）解：∵A₁B₁∥AB，
∴A₁B₁∥平面ABC₁．
∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离．
过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，
∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁G．
从而A₁G⊥平面ABC₁，
故A₁G即为所求的距离，即A₁G=。