Question

20．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

20．解法一：（Ⅰ）平面ACE.   

∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.

 

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B—AC—E的平面角.

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，

∴AE⊥EB，

又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

∴二面角B—AC—E等于

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

 

∴点D到平面ACE的距离为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，

则

       解得

       令得是平面AEC的一个法向量.

       又平面BAC的一个法向量为，

       ∴cos<,>=-

       ∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离