Question

已知函数f（x）=x³-（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a=1时写出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f（x）的变化表，由表格可得函数在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）_min＞0可得a的范围；
解答：解：（I）当a=1时，f（x）=-x+，f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表：

x		（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	-1	-		+	3
f（x）		↘	-	↗

∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）=．
（Ⅱ）f′（x）=x²-a²=（x-a）（x+a），令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=a，
①若a＜0，在（0，-a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=-a时取得最小值f（-a）=-=a（），
因为a＜0，＞0，所以f（-a）=a（）＜0．
所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；
②若a=0，f′（x）=x²≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；
③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）==-a（），
令f（a）=-a（）＞0，由a＞0，得＜0，0＜a＜，
 所以当0＜a＜时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．
综上，a的取值范围是[0，]．
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常转化为函数的最值解决，体现了转化思想．