Question

已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤0时，f（x）=e^-x；当0＜x≤1时，f（x）=4x²-4x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函数g（x）在x∈[0，5]时的零点个数．

Answer 1

解：（1）由题可知
由f（x+1）=-f（x）可知f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是以2为最小正周期的周期函数
故函数的图象如右图所示：
由图可知，函数f（x）的单调递减区间为，
递增区间为…
（2）由函数的图象可得函数g（x）在x∈[0，5]时的零点个数
即为f（x）=kx根的个数，即函数f（x）图象与y=kx图象交点的个数
则当k≥e时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有一个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有一个零点；
则当1＜k＜e时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有两个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有两个零点；
则当≤k≤1时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有三个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有三个零点；
则当＜k＜时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有四个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有四个零点；
则当＜k≤时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有五个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有五个零点；
则当0＜k≤时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有六个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有六个零点；
分析：（1）根据已知可分析出函数是以2为最小正周期的周期函数，画出一个周期内函数的图象，平移可得到函数在R上的图象，利用图象法，可分析出函数的单调区间；
（2）由函数的图象可得函数g（x）在x∈[0，5]时的零点个数即为f（x）=kx根的个数，即函数f（x）图象与y=kx图象交点的个数，根据函数图象对k值进行分类讨论后，可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的周期性，函数的图象和性质，函数的零点，是函数问题的综合应用，特别是（2）中分类比较多，难度较大．