Question

数列{a_n}满足，当x∈[a_n，a_n+1）时，f（x）=a_n-2，则方程2^f（x）=x的根的个数为

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：由已知可得数列{a_n}是首项为0，公差为1的等差数列，即a_n=n-1，进而可得当x∈[n-1，n）时，f（x）=n-3，分析出函数y=f（x）和y=log₂x的图象交点个数，即可得到方程2^f（x）=x的根的个数．
解答：∵，
∴数列{a_n}是首项为0，公差为1的等差数列
故a_n=n-1
又∵当x∈[n-1，n）时，f（x）=n-3，
当n=1时，x∈[0，1）时，f（x）=-2，
当n=2时，x∈[1，2）时，f（x）=-1，
当n=1时，x∈[2，3）时，f（x）=0，
当n=1时，x∈[3，4）时，f（x）=1，
…
又由方程2^f（x）=x的根
即为f（x）=log₂x的根
在同一坐标系中画出函数y=f（x）和y=log₂x的图象如下图，

由图可得y=f（x）和y=log₂x的图象有两个交点
故方程2^f（x）=x的根的个数为2个
故选C
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知分析出f（x）的表达式，是解答的关键．