Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（1）若x∈[-

π

12

，

π

6

]，求函数f（x）的最值；
（2）记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

3

），由 x∈[-

π

12

，

π

6

]，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得A=

π

3

．利用基本不等式求得 bc≤4，即 bc的最大值为4，由此求得△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA 的最大值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx=sinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x+sinxcosx
=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
∵x∈[-

π

12

，

π

6

]，∴

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

，∴

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+

π

3

）=0，∴A=

π

3

．
∵b+c=4≥2

bc

，当且仅当b=c时取等号，故 bc≤4，即 bc的最大值为 4．
故△ABC面积S=

1

2

bc•sinA=

3

4

bc≤

3

，故△ABC面积的最大值为

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，以及基本不等式的应用，属于中档题．