Question

已知-

π

2

＜x＜0，sinx=-

3

5

（1）求sinx-cosx的值；
（2）求tan2x；
（3）求3sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

的值．

Answer 1

分析：（1）根据同角三角函数关系求出cosx，从而可求出sinx-cosx的值；
（2）先求tanx的值，然后利用正切的二倍角公式解之即可求出tan2x的值；
（3）先求出tan

x

2

的值，然后利用3sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

除以1=sin2

x

2

+cos2

x

2

，可转化成关于tan

x

2

的形式，从而可求出所求．

解答：解：（1）∵-

π

2

＜x＜0，sinx=-

3

5

∴cosx=

1-sin2x

=

4

5

∴sinx-cosx=-

3

5

-

4

5

=-

7

5

（2）tanx=

- 3 5

4 5

=-

3

4

则tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

2×(- 3 4 )

1-(- 3 4 )2

=-

24

7

（3）∵tanx=-

3

4

=

2tan x 2

1-tan2 x 2

，-

π

2

＜x＜0
∴tan

x

2

=-

1

3

则3sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3sin2 x 2 -2sin x 2 cos x 2 +cos2 x 2

sin2 x 2 +cos2 x 2

=

3tan2 x 2 -2tan x 2 +1

tan2 x 2 +1

=

1 3 + 2 3 +1

1 9 +1

=

9

5

∴3sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

的值为

9

5

点评：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．