已知0<x1.且.试证:数列或者对任意自然数n都满足xn<xn+1.或者对任意自然数n都满足xn>xn+1. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知0<x₁，且

，试证：数列

或者对任意自然数n都满足x_n<x_n+1，或者对任意自然数n都满足x_n>x_n+1。

答案：
解析：

，

由于x₁>0，由递推式可知x_n>0，所以x_n+1－x_n与1－同号。

（1）若0<x₁<1，

①当n=1时，1－>0成立，

②设n=k时，1－>0，则当n=k+1时，

即n=k+1时，1－>0，由①、②知，对于一切自然数，都有1－>0，

从而对一切自然数n，都有x_n+1>x_n。

(2)若x₁>1，同理可证对一切自然数n都有x_n₊₁<x_n。

由(1)、(2)可知，或者对任意自然数n，都有x_n<x_n₊₁或者对任意自然数n都有x_n>x_n₊₁。

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