Question

4．过原点O的直线l与函数f（x）=|lnx|（x∈（0，e）e为自然对数的底数）的图象从左到右依次交于点A，B两点，如果A为OB的中点，则A点的坐标为（$\frac{\root{3}{4}}{2}$，$\frac{1}{3}$ln2）．

Answer 1

分析 由已知可得A点在f（x）=-lnx上，令A点坐标为（a，-lna），则B点坐标为：（2a，-2lna），又由B点在f（x）=lnx上，B点坐标还可表示为：（2a，ln2a），进而构造对数方程，求出a值，可得答案．

解答 解：若原点O的直线l与函数f（x）=|lnx|（x∈（0，e）e为自然对数的底数）的图象从左到右依次交于点A，B两点，
如果A为OB的中点，
则A点在f（x）=-lnx上，
令A点坐标为（a，-lna），
则B点坐标为：（2a，-2lna），
又由B点在f（x）=lnx上，
∴B点坐标还可表示为：（2a，ln2a），
即-2lna=ln2a，
即a^-2=2a，
解得：a=$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
又由ln2a=ln$\root{3}{4}$=$\frac{1}{3}$ln2，
故A点的坐标为（$\frac{\root{3}{4}}{2}$，$\frac{1}{3}$ln2），
故答案为：（$\frac{\root{3}{4}}{2}$，$\frac{1}{3}$ln2）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，中点坐标公式，难度中档．