Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（1）求φ；
（2）求函数y=f（x），x∈[-π，π]的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，当x=

π

8

时，f（x）取得最值，即sin（

π

4

+φ）=±1，

π

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，求得φ=kπ+

π

4

．再根据-π＜φ＜0，可得φ 的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

3π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．再由x∈[-π，π]，进一步确定函数的增区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，
∴当x=

π

8

时，f（x）取得最值，即sin（

π

4

+φ）=±1，

π

4

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，求得φ=kπ+

π

4

．
再根据-π＜φ＜0，可得φ=-

3π

4

．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

3π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈z，故函数的增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
再由x∈[-π，π]，可得函数的增区间为[-

7π

8

，-

3π

8

]、[

π

8

，

5π

8

]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，求复合三角函数的单调区间，属于中档题．