Question

如图，四边形ABCD为边长是2的正方形，BD⊥x轴，记四边形ABCD位于直线x=t（t＞0）左侧图形的面积为f（t）．
（1）试求函数y=f（t）的解析式（注明定义域）；
（2）画出函数y=f（t）的图象．

Answer 1

分析：（1）当直线x=t的与四边形ABCD的交点在AB，AD边上，即0＜t≤

2

时，直线x=t（t＞0）左侧图形为三角形，代入三角形面积公式，可得函数第一段上的解析式，当直线x=t的与四边形ABCD的交点在BC，CD边上，即

2

＜t≤2

2

时，直线x=t（t＞0）左侧图形为四边形，利用割补法，可得函数第二段上的解析式，当直线x=t的与四边形ABCD无交点，即t＞2

2

时，四边形ABCD完全在直线x=t（t＞0）左侧，可得函数第三段上的解析式，综合上述三种情况，可得函数y=f（t）的解析式
（2）根据（1）中函数的解析式，根据分段函数图象分段画的原则，可得函数y=f（t）的图象．

解答：解：（1）当直线x=t的与四边形ABCD的交点在AB，AD边上，即0＜t≤

2

时
直线x=t（t＞0）左侧图形为三角形
此时f（t）=

1

2

•2t•t=t²
当直线x=t的与四边形ABCD的交点在BC，CD边上，即

2

＜t≤2

2

时
直线x=t（t＞0）左侧图形为四边形
此时f（t）=4-

1

2

•2(2

2

-t)•(2

2

-t)=4-(2

2

-t)2
当直线x=t的与四边形ABCD无交点，即t＞2

2

时
四边形ABCD完全在直线x=t（t＞0）左侧
此时f（t）=4
综上：f(t)=

t2，0＜t≤ 2 -(t-2 2 )2+4， 2 ＜t≤2 2 4，t＞∫2 2

；
（2）由（1）中函数的解析式，可得函数y=f（t）的图象如下图所示：

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握分段函数解析式的求法及图象的画法是解答的关键．