Question

已知sinθ+cosθ=，求sinθ、cosθ、tanθ的值.

Answer 1

思路点拨：本题根据sinθ+cosθ=来求sinθ、cosθ、tanθ，实际隐含了sin²α+cos²α=1和=tanα两个关系式，我们可以根据三角函数式的恒等变形，运用sinθ和cosθ的平方关系式用一元二次方程求解.

解：∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)²=,即sinθcosθ=-.

又(sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ=,

∵sinθcosθ＜0,0＜θ＜π,

∴sinθ＞0,cosθ＜0,sinθ-cosθ＞0.

∴sinθ-cosθ=.又sinθ+cosθ=,

∴sinθ=,cosθ=-.

∴tanθ==-.

［一通百通］ 对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解.在利用公式=tanα时，符号取自然运算符号；而利用sin²α+cos²α=1求sinθ、cosθ进行开方运算时，要注意符号的选取.