Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB= 90°， AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点，
(Ⅰ)求证：PE⊥CD；
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积；
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为AD⊥侧面PAB，PE平面PAB， 所以AD⊥PE， 又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的巾点， 所以PE⊥AB， 因为AD∩AB=A， 所以PE⊥平面ABCD，而CD平面ABCD， 所以PE⊥CD。 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：PE⊥平面ABCD， 所以PE是四棱锥P-ABCD的高， 由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1， 因为△PAB是等边三角形， 可求得， 所以，。
(Ⅲ)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz， 则， ， 设为平面PDE的法向量， 由，即， 令x=1，可得， 设PC与平面PDE所成的角为θ， ， 所以，PC与平面PDE所成的角的正弦值为。