Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[-1，2]上求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（II）由（1）中函数的解析式，分析函数在f（x）在区间[-1，2]上的单调性，进而求出最值，得到y=f（x）的值域．

解答：解：（I）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
解得a=1，b=-1
又∵f（0）=c=1
∴f（x）=x²-x+1；
（II）∵函数f（x）=x²-x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线
故函数f（x）在区间[-1，

1

2

]上为减函数，区间[

1

2

，2]上为增函数
故当x=-1，或x=2时，函数f（x）取最大值3，
当x=

1

2

时，函数f（x）取最小值

3

4

故y=f（x）的值域为[

3

4

，3]

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，及二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤及二次函数的图象和性质是解答的关键．