Question

1．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x（e为自然对数的底数），若实数a满足f（log₂a）-f（log_0.5a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 求导，求得函数的单调性，由f（x）为奇函数，则不等式转化成f（log₂a）≤f（1），根据函数的单调性及对数函数的运算，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x，求导f′（x）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$+1＞0，则f（x）在R单调递增，
则f（-x）=e^-x-$\frac{1}{{e}^{-x}}$-x=-（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x）=-f（x），则f（x）为奇函数，
则f（log_0.5a）=-f（-log_0.5a）=-f（log₂a）
由f（log₂a）-f（log_0.5a）≤2f（1），则f（log₂a）+f（log₂a）≤2f（1），
∴f（log₂a）≤f（1），
由log₂a≤1，解得：0＜a≤2，
∴实数a的取值范围（0，2]．
故选：D．

点评 本题考查利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．