Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．

已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝，SA＝SB＝．

(Ⅰ)证明SA⊥BC；

(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD 　　因为SA＝SB，所以AO＝BO 　　又∠ABC＝45° 　　故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO 　　由三垂线定理，得SA⊥BC　　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC，依题设AD//BC 　　故SA⊥AD，由AD＝BC＝，SA＝，AO＝ 　　得SO＝1，SD＝ 　　△SAB的面积 　　连结DB，得△DAB的面积 　　设D到平面SAB的距离为h 　　由 　　得 　　解得 　　设SD与平面SAB所成角为α 　　则 　　所以，直线SD与平面SAB所成的角为　　12分 　　解法二：(I)作SO⊥BC，垂足为O，连结AO 　　由侧面SBC⊥底面ABCD 　　得SO⊥平面ABCD 　　因为SA＝SB，所以AO＝BO 　　又∠ABC＝45° 　　△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB 　　如图所示，以O为原点 　　OA为x轴正向 　　建立直角坐标系 　　 　　 　　所以SA⊥BC　　6分 　　(Ⅱ)取AB中点E， 　　连结SE，取SE中点G，连OG， 　　 　　OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直 　　所以OG⊥平面SAB 　　设OG与的夹角为α 　　SD与平面SAB所在的角为β 　　则α与β互余 　　 　　 　　所以，直线SD与平面SAB所成的角为　　12分