Question

已知函数（a，b∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为3，若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．
C．
D．[1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：先根据图象在点（1，f（1））处得切线在y轴上的截距为3，求得b=3-2a，再将f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，转化为f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立，构造新函数，再进行分类讨论，即可确定a的取值范围．
解答：解：由题意，f（1）=2a+b∵函数f（x）=ax++b（a，b∈R）
∴f′（x）=a-，
∴f′（1）=0；
所以图象在点（1，f（1））处的切线为：y=f（1）=2a+b=3，
∴b=3-2a 若f（x）＞x在（1，+∞）上恒成立，即：f（x）-x＞0在（1，+∞）上恒成立；
设g（x）=f（x）-x=（a-1）x++3-2a，
∴g′（x）=a-1-，a≤0时，x²＞1，0＜＜1，∴0＜-＜-a，∴a-1-＜-1＜0；
0＜a＜1时，a-1＜0，∴-＜0，∴a-1-＜0；
所以a＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（x）＞0不会恒成立，不满足题意；
把a=1代入可得：g（x）=+1＞0在（1，+∞） 上恒成立，符合条件；
a＞1时，g′（x）=0 得：x=；
当x＞时，g′（x）＞0；1＜x＜时，g′（x）＜0，
所以g（x）_min=g（）＞0即可，
即：（a-1）++3-2a＞0
∴2＞2a-3．
①当1＜a≤时，上式恒成立；
②当a＞时，平方得：4a²-4a＞4a²-12a+9 即：a＞；
∴a＞时，符合题意；综上可知：a的取值范围是：[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，解题时正确分类，利用导数确定函数的单调性是关键