Question

有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？

Answer 1

分析:本题考查复合函数的导数及导数的应用.适当选定变元,借助图象寻找各条件间的联系,构造相应的函数关系式,建立数学模型,通过求导和其他方法求出最值.

解法一:根据题意，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总的水管费用最省，设C点距D点x km，则AC=（50-x） km

又∵BD=40 km,

∴BC=,又设总的水管费用为y元，依题意，则

y=3a(50-x)+5a(0<x<50).

y′=-3a+,

令y′=0,解得x=30.在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50-x=20(km).

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

解法二：设∠BCD=θ,则BC=,CD=40cotθ(0<θ<),

∴AC=50-40cotθ.

设总的水管费用为f(θ),依题意，有

f(θ)=3a(50-40·cotθ)+5a·=150a+40a·,

∴f′(θ)=40a·

=40a·

令f′(θ)=0,得cosθ=.

∵0<θ<,

∴0＜θ<1,cosθ在(0,1)上只有一个极值点.

根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,

∴cotθ=.

∴AC=50-40·cotθ=20(km),

即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

点评:解决实际问题的关键在于构造目标函数和建立数学模型，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域里寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明.同时注意与实际问题有关的函数的定义域,除了使解析式有意义外,还要注意到它的实际意义.