Question

（本小题满分12分）

       如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,．

（I） 求证：；

（II） 求二面角的大小。

Answer 1

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）

       解法1：（Ⅰ）由已知可得

      

       于是有

       所以

       又

       由

   （Ⅱ）在中，由（Ⅰ）可得

       于是有EF²+CF²=CE²，所以

       又由（Ⅰ）知CF C₁E，且，所以CF 平面C₁EF，

       又平面C₁EF，故CF C₁F。

       于是即为二面角E—CF—C₁的平面角。

       由（Ⅰ）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角E—CF—C₁的大小为。

       解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

      

   （Ⅰ）

        

      

   （Ⅱ），设平面CEF的一个法向量为

       由

       即

       设侧面BC₁的一个法向量为

      

              设二面角E—CF—C₁的大小为θ，于是由θ为锐角可得

       ，所以

       即所求二面角E—CF—C₁的大小为。