Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为且过点（4，-）.?

（1）求双曲线的标准方程；

（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F₁M⊥F₂M.?

Answer 1

思路分析：由离心率得出a与b相等，再用待定系数法求方程.第（2）问可考虑斜率公式的运用.

（1）解：由双曲线的离心率为，即=,则=2,?

∴a=b,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x²-y²=λ（λ≠0）.?

由于双曲线过点（4，-），

则4²-（-）²=λ.?

∴λ=6.∴双曲线方程为=1.

?（2）证明：由（1）可得F₁、F₂的坐标分别为（-2，0）、（2，0），M、N的坐标分别为（3，）、（3，-）.?

∴k=,k=.

故k·k=·=-1.?

∴F₁M⊥F₂M.

温馨提示

（1）离心率给定的问题应先研究a、b的关系，简化方程的字母个数；从离心率为2可看出它是等轴双曲线的隐含条件.

（2）λ≠0时，方程x²-y²=λ,即可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线.