Question

计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0～n-1中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是（　　）

A． 1 104

B． 1 105

C． 1 106

D． 1 107

Answer 1

若计算器上显示n的时候按下按键，因此共有0～n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是

1

n

．
如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了a₁，a₂，…，a_n，则概率为

1

2011

×

1

a1

×

1

a2

×…×

1

an

×

1

999

×

1

99

×

1

9

，
所以所求概率为p=∑

1

2011

×

1

a1

×

1

a2

×…×

1

an

×

1

999

×

1

99

×

1

9

=

1

2011

(1+

1

2010

)(1+

1

2009

)…(1+

1

1000

)×

1

999

×(1+

1

998

)…(1+

1

100

)×

1

99

×(1+

1

98

)…(1+

1

10

)×

1

9

×(1+

1

8

)…(1+1)
注意到1=

1

2011

(1+

1

2010

)(1+

1

2009

)…(1+

1

1000

)×(1+

1

999

)×(1+

1

998

)…(1+1)
两式相除即得p=

1

1000

×

1

100

×

1

10

=

1

106

．
故选C．