Question

如图,摩天轮的半径为40 m,摩天轮的圆心O点距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.

(1)已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h,求2 006 min时点P距离地面的高度;

(2)求证:不论t为何值,f(t)+f(t+1)+f(t+2)是定值.

Answer 1

(1)解法一:依题意,A=40,h=50,T=3,

则ω=,且f(0)=10,故φ=-.                                             

∴f(t)=40sin(t-)+50(t≥0),                                               

f(2 006)=40sin(×2 006-)+50=70.                                         

解法二:2 006=3×668+2,故第2 006 min时点P所在位置与第2 min时点P所在位置相同,

即从起点转过圈,其高度为70 m.

(2)证明:由(1)知f(t)=40sin(t-)+50=50-40cos(t)(t≥0).

∴f(t)+f(t+1)+f(t+2)=150-40cos(t)-40cos［(t+1)］-40cos［(t+2)］

=150-40cos(t)-40［cos(t+)+cos(t+)］

=150-40cos(t)-40×2×costcos

=150是定值.