Question

2．已知$f（x）=\frac{x}{|lnx|}$，若关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²+m=0，恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1}{e}，2）∪（2，e）$
• B． $（\frac{1}{e}+1，e）$
• C． （e-1，e）
• D． $（\frac{1}{e}，e）$

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，求出极值，得出方程f（x）=t的解的情况，得出关于t的方程t²-（2m+1）t+m²+m=0的根的分布区间，利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{-lnx}，0＜x＜1}\\{\frac{x}{lnx}，x＞1}\end{array}\right.$，∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-lnx}{l{n}^{2}x}，0＜x＜1}\\{\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}，x＞1}\end{array}\right.$．
∴当0＜x＜1或x＞e时，f′（x）＞0，当1＜x＜e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
作出f（x）的大致函数图象如图所示：

令f（x）=t，则当0＜t＜e时，方程f（x）=t有1解，
当t=e时，方程f（x）=t有2解，
当t＞e时，方程f（x）=t有3解，
∵关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²+m=0，恰好有4个不相等的实数根，
∴关于t的方程t²-（2m+1）t+m²+m=0在（0，e）和（e，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＞0}\\{{e}^{2}-（2m+1）e+{m}^{2}+m＜0}\end{array}\right.$，解得e-1＜m＜e．
故选C．

点评 本题考查了导数与函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．