Question

已知函数f（x）=ax³+bx²，（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在x=2时取得极值得f'（2）=2，由图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行得f'（1）=-3，联立方程组可求得a，b；
（Ⅱ）求出函数f（x）在[1，4]上的极值及区间端点处的函数值，比较其大小，则最大者为最大值，最小者为最小值；

解答：（Ⅰ）∵f（x）=x²（ax+b）=ax³+bx²，
∴f'（x）=3ax²+2bx，
由已知可得：

f′(2)=0 f′(1)=-3

⇒

12a+4b=0 3a+2b=-3

，解得

a=1 b=-3

，
∴f（x）=x³-3x²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
x∈[1，4]，令f'（x）=0，得x=2，

x	1	（1，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-2	↘	极小值-4	↗	16

∴当x∈[1，4]时，函数f（x）的最大值是16，最小值是-4．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和最值，属中档题，掌握导数与函数的极值、最值的关系是解决问题的关键．