Question

已知tan（

π

4

+α）=2，求：
（1）tanα的值；
（2）sin2α+sin²α+cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用两角和的正切公式，化简tan（

π

4

+α）=2，求出tanα的值．
（2）法一：利用齐次式分母1，利用平方关系，分子、分母同除cos²α，得到关于tanα表达式，利用（1）的结论求解即可．
法二：利用二倍角公式，把sin2α+sin²α+cos2α化为：2sinαcosα+cos²α，通过（1）的结果，求出sinα，cosα的值，分象限，解出2sinαcosα+cos²α的值即可．

解答：（1）解：tan（

π

4

+α）=

1+tanα

1-tanα

=2，
∴tanα=

1

3

．
（2）解法一：sin2α+sin²α+cos2α=sin2α+sin²α+cos²α-sin²α
=2sinαcosα+cos²α
=

2sinαcosα+cos2α

1

=

2sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

2sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

=

2tanα+1

tan2α+1

=

3

2

．

解法二：sin2α+sin²α+cos2α=sin2α+sin²α+cos²α-sin²α
=2sinαcosα+cos²α．①
∵tanα=

1

3

，
∴α为第一象限或第三象限角．
当α为第一象限角时，sinα=

1

10

，cosα=

3

10

，代入①得
2sinαcosα+cos²α=

3

2

；
当α为第三象限角时，sinα=-

1

10

，cosα=-

3

10

，代入①得
2sinαcosα+cos²α=

3

2

．
综上所述sin2α+sin²α+cos2α=

3

2

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，公式的熟练程度决定解题能力．