Question

数列{a_n}是首项a₁=4的等比数列，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂|a_n|，T_n为数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（ I）当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列，当q≠1时利用等比数列的求出公式建立等式求出q，从而求出数列{a_n}通项公式；
（ II）求出b_n，代入

1

bnbn+1

得

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，然后利用裂项求和法求出前n项和即可．

解答：解 （ I）当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列
当q≠1时，∵S₃，S₂，S₄成等差数列
∴2S₂=S₃+S₄
∴2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

得q=-2，
∴a_n=4×（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（ II）b_n=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及裂项求和法的应用，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．