对一切n∈N.(a+b)n-(an+bn)≥22n-2n+1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对一切n∈N，(a+b)ⁿ－(aⁿ+bⁿ)≥2²ⁿ－2ⁿ⁺¹．

答案：
解析：

分析　如果不等式是关于自然数命题的形式，又无好的切入点时，不妨试用数学归纳法来证明．

证明:(1)当n=1时，左边=(a+b)－(a+b)=0，右边=2²－2²=0，所以左=右，因此原不等式成立．

(2)假设n=k时，不等式成立，即(a+b)^k－(a^k+b^k)≥2^2k－2^k⁺¹．则n=k+1

于是有ab=a+b≥4．因此

(a+b)^k⁺¹－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

=(a+b)(a+b)^k－(a+b)(a^k+b^k)+(a+b)(a^k+b^k)－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

=(a+b)[(a+b)^k－(a^k+b^k)]+(a^k⁺¹+b^k⁺¹)+ab^k+ba^k－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

所以n=k+1时，原不等式成立．

综合(1)，(2)，对于任意的自然数n，原不等式成立．

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(2)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁),(a₂,a₃),(a₄,a₅,a₆),(a₇,a₈,a₉,a₁₀);(a₁₁),(a₁₂,a₁₃),(a₁₄,a₁₅,a₁₆),(a₁₇,a₁₈,a₁₉,a₂₀);(a₂₁),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n},求b₅+b₁₀₀的值.

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