Question

已知函数f(x)=-2

3

sin2x+sin2x+

3

．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值；（3）求满足f（a-x）=f（a+x）（x∈R）的所有的常数a．

Answer 1

分析：利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f(x)=2sin(2x+

π

3

)
（1）

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z可求函数的单减区间
（2）由x∈[0，π]可求  2x+

π

3

的范围，结合正弦函数的性质可求函数的最大值
（3）由f（a-x）=f（a+x）（x∈R）可得函数关于x=a对称即考虑对称轴，令2x+

π

3

=kπ+

π

2

可求

解答：解：（1）f(x)=-2

3

sin2x+sin2x+

3

=

3

(1-2sin2x)+sin2x
=sin2x+

3

cos2x
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z可得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z
函数的单减区间为[kπ+

π

12

， kπ+

7π

12

]（k∈Z）
（2）∵x∈[0，π]∴

π

3

≤2x+ 

π

3

≤

7π

3

∴-1≤sin(2x+

π

3

)≤1
∴函数的最大值为2           
（3）由f（a-x）=f（a+x）（x∈R）可得函数关于x=a对称即考虑对称轴
令2x+

π

3

=kπ+

π

2

x=

kπ

2

+

π

12

∴a=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）

点评：本题主要考查了利用三角函数的二倍角公式及辅助角公式对函数化简，然后结合正弦函数的性质求形如y=Asin（ωx+∅）函数的单调区间、函数的最值、及函数的对称轴（或对称中心），属于知识的综合应用．