Question

已知函数f(x)=

2x+2-x

2x-2-x

（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域，就是寻找使函数成立的x的值，因为函数有分母，要想使函数有意义，必须分母不等于0，解不等式即可得到函数的定义域．
求函数的值域，就是找函数中y的取值范围，根据函数解析式，先把4^x用y表示，再根据4^x的范围得到含y的代数式的范围，再解关于y的不等式即可．
（2）用定义证明函数单调性的步骤，首先设在所给区间上有任意两个自变量x₁，x₂，x₁＜x₂，再作差比较f（x₁）
与f（x₂）的大小，当f（x₁）＜f（x₂）时，函数在该区间上为增函数，当f（x₁）＞f（x₂）时，函数在该区间上为减函数．

解答：解：（1）f(x)=

2x+2-x

2x-2-x

=

4x+1

4x-1

要使函数成立，需满足4^x≠1，即4^x≠4⁰，解得≠0
∴定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由y=

4x+1

4x-1

⇒4x=

y+1

y-1

＞0⇒y＞1或y＜-1
∴函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

4x2+1

4x2-1

-

4x1+1

4x1-1

=

2(4x1-4x2)

(4x2-1)(4x1-1))

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴4x1-1＞0，4x2-1＞0，4x1-4x2＜0，
∴

2(4x1-4x2)

(4x2-1)(4x1-1))

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

4x2+1

4x2-1

-

4x1+1

4x1-1

=

2(4x1-4x2)

(4x2-1)(4x1-1))

∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴4x1-1＜0，4x2-1＜0，4x1-4x2＜0，
∴

2(4x1-4x2)

(4x2-1)(4x1-1))

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．

点评：本题主要考查了函数定义域和值域的求法，以及定义法判断函数的单调区间，属于函数的常规题型．