Question

如图，四棱椎F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2，
(Ⅰ)求二面角B-AF-D的大小；
(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。

Answer 1

解：（Ⅰ）连接AC、BD交于菱形的中心O， 过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG， 由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF， 于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF， ∠BGD为二面角B-AF-D 的平面角， 由FC⊥AC，FC=AC=2，得， 由，得， ∴二面角B-AF-D的大小为。
（Ⅱ）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H， 则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD， 过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足， 因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD， 所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而， 由，得， 又因为， 故四棱锥H-ABCD的体积。