Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，，BC=CA=AA₁=a，A₁在底面的射影O恰为AC的中点，求：

(1) AB与侧面AC₁所成的角；

(2) 侧面AA₁B₁B和侧面CC₁A₁A所成的角；

(3) 三棱柱的侧面积和体积．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) AO⊥底面ABC，∴ 侧面AC1⊥底面ABC． ∵ ，AC=BC=a， ∴ ∠ACB=90°，BC⊥AC． ∴ BC⊥平面AC1． AC是AB在侧面AC1的射影，∠BAC是AB与侧面AC1所成的角．∠BAC=45°， ∴ AB与侧面AC1所成的角为45°． (2) 在侧面AC1中作CE⊥A1A，E是垂足，连BE． ∵ BC⊥平面AC1， ∴ EC是EB在平面AC1的射影． 由三垂线定理得EB⊥AA1． ∴ ∠BEC是侧面AA1B1B和侧面CC1A1A所成的二面角的平面角． 在△A1AO中，AA1=AC=a，O是AC中点， ∴ △A1AO=60°． 在Rt△ACE中， ． 在Rt△BCE中，BC=a ， 即二面角B－AA1－C为． (3) 解法1：△BEC是三棱柱ABC－A1B1C1的直截面． ，BC=a， 直截面周长 ， ． 直截面面积 ， 体积． 解法2：∵ BC⊥平面AC1，∴ BC⊥CC1 ∴ 四边形B1BCC1是矩形，面积S1=a2， 又平行四边形A1ACC1的面积， 平行四边形A1ABB1的面积． 则三棱柱的侧面积 ． 底面△ABC的面积，高， 则三棱柱的体积．