Question

已知x满足2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，求y=(log2

x

2

)(log2

x

4

)的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：由条件求得

1

2

≤log2x≤3，化简函数y的解析式为 (log2x-

3

2

)2-

1

4

，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值．

解答：已知x满足2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，求y=(log2

x

2

)(log2

x

4

)的最大值与最小值及相应的x的值．
解：由题意 2(log

1

2

x)2+7log

1

2

x+3≤0，解得 -3≤log

1

2

x≤-

1

2

，
∴

1

2

≤log2x≤3．
又∵y=(log2

x

2

)(log2

x

4

)=（log₂x-1）（log₂x-2）=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，
∴当log2x=

3

2

时，ymin=-

1

4

，当log₂x=3时，y_max=2，
即当 x=2

2

时，ymin=-

1

4

；当x=8时，y_max=2．

点评：本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．