Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F．求证：AB∶AC＝DF∶AF．

Answer 1

答案：
解析：

证明：因为∠BAC＝90°，AD⊥BC， 　　所以∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°． 　　所以∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°．所以∠1＝∠C． 　　所以△ABD∽△CAD． 　　所以＝． 　　又因为E是AC的中点，所以DE＝EC． 　　所以∠3＝∠C．又因为∠3＝∠4，∠1＝∠C， 　　所以∠1＝∠4．又有∠F＝∠F，所以△FBD∽△FDA． 　　所以BD∶AD＝DF∶AF．所以AB∶AC＝DF∶AF． 　　分析：比例式左边AB、AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换．