Question

若f（x）=-

1

2

x2+blnx在（1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是

b≤1

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由f（x）=-

1

2

x2+blnx在（1，+∞）上是减函数，则其导函数在（1，+∞）上小于等于0恒成立，由此可以求得b的取值范围．

解答：解：由f（x）=-

1

2

x2+blnx，定义域为（0，+∞）．
f′(x)=-x+

b

x

=

-x2+b

x

．
函数f（x）=-

1

2

x2+blnx在（1，+∞）上是减函数，
则f′(x)=

-x2+b

x

≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，
即b≤x²在x∈（1，+∞）上恒成立，因为x²＞1，所以b≤1．
故答案为b≤1．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．