Question

求下列函数的值域:

(1)y=tan²x-2tanx+3;

(2)y=.

Answer 1

思路分析：（1）由于tanx值域为R，将tanx视为整体t，则t∈R,问题转化为求函数y=t²-2t+3的值域问题.（2）利用secx与tanx关系转化为只含tanx的关系式，仿（1）换元后，考虑利用判别式法求值域.

解：(1)令t=tanx,则t∈R,原函数可以转化为y=t²-2t+3=(t-1)²+2≥2.

∴函数y=tan²x-2tanx+3的值域为［2,+∞）.

(2)将原函数变形,

    得y=.

    令t=tanx(t∈R),得(y-1)t²+(y+1)t+(y-1)=0.(*)

    当y-1≠0时,

Δ=(y+1)²-4(y-1)²≥0,

    解之,得13≤y≤3(y≠1).

    当y-1=0时,代入(*)得t=0.

∴原函数y=的值域为［,3］.