Question

（2013•东城区模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=

π

3

，a=5，△ABC的面积为10

3

．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求cos(B-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用三角形的面积公式求解b，利用余弦定理求解c的值；
（Ⅱ）通过余弦定理求出B的余弦值，利用同角三角函数的基本关系式求出B的正弦函数值，利用两角和与差的余弦函数求cos(B-

π

3

)的值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知，C=

π

3

，a=5，
因为  S△ABC=

1

2

absinC，
即   10

3

=

1

2

b•5sin

π

3

，
解得 b=8．
由余弦定理可得：c2=64+25-80cos

π

3

=49，
所以  c=7．…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有cosB=

49+25-64

70

=

1

7

，
由于B是三角形的内角，
易知 sinB=

1-cos2B

=

4 3

7

，
所以cos(B-

π

3

)=cosBcos

π

3

+sinBsin

π

3

=

4 3

7

×

3

2

+

1

7

×

1

2

=

13

14

．…..（13分）

点评：本题考查余弦定理以及三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．