Question

请阅读下面的资料，然后再按下述的提示探究、讨论什么时候他们两人的距离最短．如下图，有两条相交成60°角的直路EF，MN，交点是O，起初，甲在OE上距O点3 km的点A处；乙在OM上距O点1 km的点B处．现在他们同时以4 km/h的速度行走，甲沿EF的方向，乙沿NM的方向．

(1)求起初两人的距离；

(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；

(3)什么时候他们两人的距离最短？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，知OA＝3，OB＝1，∠AOB＝60°． 　　∴在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos60°， 　　． 　　∴起初两人的距离是7 km． 　　(2)设t小时后他们两人距离最短，此时的位置分别是P、Q，则AP＝4t，BQ＝4t． 　　当0≤t≤时，PQ2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°；① 　　当时，PQ2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)cos120°．② 　　由①②，得PQ2＝48t2－24t＋7， 　　即． 　　(3)由(2)，知． 　　∴． 　　∴当，即在第15分钟时，他们两人的距离最短． 　　思路分析：设t小时后两人距离最短，在构造三角形时，要分两种情况讨论，即甲过O点前后，因为这两种情况解的三角形不同．