Question

如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，其中∠ADC=60°，侧面PAD丄底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中点
（I）求证：直线PB∥平面ACE
（II）求：二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

解：（I）证明：设AC和BD的交点为O，由菱形的性质可得，O为BD的中点，因为E是PD的中点，故OE是三角形DPB的中位线，
∴OE∥PB，而 OE?平面ACE，PB不在平面ACE内，故 直线PB∥平面ACE．
（II）在平面PAD内，作EM⊥AD，∵侧面PAD丄底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD．作MN⊥AC，N为垂足，
则∠MNE即为二面角E-AC-D的平面角．
EM==，MN=AMcos30°=，∴tan∠MNE==，
故二面角E-AC-D的大小为arctan．
分析：（I） 设AC和BD的交点为O，可得OE是三角形DPB的中位线，OE∥PB，从而证得直线PB∥平面ACE．
（II）在平面PAD内，作EM⊥AD，作MN⊥AC，可证∠MNE即为二面角E-AC-D的平面角，求出EM和MN，可求
tan∠MNE，从的得到二面角E-AC-D的大小．
点评：本题考查证明线面平行的方法，直线和平面平行的判定，求二面角的大小的方法，找出二面角的平面角是解题的关键．