Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

） a_n+

n+1

22

（n∈N*）
（Ⅰ）若b_n=

an

n

，试求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试求S_n．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）由bn=

an

n

知，bn+1=

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

=bn+

1

2n

，所以bn+1-bn=

1

2n

，b2-b1=

1

2

，b3-b2=

1

22

，b4-b3=

1

23

，b5-b4=

1

24

，…，bn-bn-1=

1

2n-1

，用累加法能够求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）an=(2-

1

2n-1

)n，a_n的前n项和S_n=2（1+2++n)-(1+

2

2

+

3

22

+

4

23

++

n

2n-1

），令T n=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

++

n

2n-1

，用错位相减法能够求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）由bn=

an

n

知，bn+1=

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

=bn+

1

2n

，
∴bn+1-bn=

1

2n

（1分）
∴b2-b1=

1

2

，b3-b2=

1

22

，b4-b3=

1

23

，b5-b4=

1

24

，，bn-bn-1=

1

2n-1

（3分）
∴bn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n-1

=2(1-

1

2n

)（6分）
（Ⅱ）an=(2-

1

2n-1

)n，a_n的前n项和S_n=2（1+2++n)-(1+

2

2

+

3

22

+

4

23

++

n

2n-1

）（7分）
令T n=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

++

n

2n-1

则

1

2

T n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

++

n

2n

1

2

T n=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n-1

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

（11分）
∴Sn=n(n+1)+

n+2

2n-1

-4（13分）

点评：第（Ⅰ）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意累加法的运用；第（Ⅱ）考查数列前n项和的应用，解题时要注意错位相减法的应用．