Question

13．已知曲线y=5$\sqrt{2x+1}$，求：
（1）曲线在x=0处的切线方程；
（2）曲线上与直线5x-2y+1=0平行的切线的方程．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求曲线在x=0处的切线方程；
（2）由题意得$\frac{5}{\sqrt{2{x}_{0}+1}}$=$\frac{5}{2}$，求得切点坐标，进而可求曲线上与直线5x-2y+1=0平行的切线的方程．

解答 解：y′=（5$\sqrt{2x+1}$）′=5•$\frac{1}{2}$$（2x+1）^{-\frac{1}{2}}$•（2x+1）′=$\frac{5}{\sqrt{2x+1}}$．
（1）当x=0时导数值为5，所以曲线y=5$\sqrt{2x+1}$在x=0处的切线的斜率为k=5，
又切点坐标为（0，5），所以切线方程为y-5=5x，即5x-y+5=0．
（2）设切点坐标为（x₀，y₀），则切线斜率为$\frac{5}{\sqrt{2{x}_{0}+1}}$．
由题意得$\frac{5}{\sqrt{2{x}_{0}+1}}$=$\frac{5}{2}$．∴x₀=$\frac{3}{2}$，切点坐标为（$\frac{3}{2}$，10），
∴切线方程为y-10=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{3}{2}$），
即为10x-4y+25=0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于中档题．